КУРСОВА РОБОТА - Побудова моделі оптимально плану матеріальних запасів

Курсова робота

з дисципліни “Сучасна теорія управління”

на тему: Побудова моделі оптимально плану матеріальних запасів

ВСТУП

У даній роботі розглядається розробка (Q, r)-системи керування товарними запасами, призначена для невеликих магазинів роздрібної торгівлі. Актуальність даної системи обумовлена необхідністю підвищення конкуренції в сфері роздрібної торгівлі, що неможливо без створення, освоєння і упровадження відповідних інструментів для рішення економічних задач. Оскільки малі і середні підприємства найчастіше обмежені в коштах, актуальної є розробка систем, що автоматизують окремі аспекти роботи підприємства.

До одним з таких інструментів відносяться автоматизована система обліку товарів на складі і система керування запасами. Найчастіше планування поповнення запасів необґрунтовано ведеться по деяким жорстко встановлений нормативам, незалежно від того, наскільки економічно виправданий даний рівень запасу в даній конкретній ситуації. Такий підхід приводить до свідомо завищеного рівня запасів, що означає невиправдане відволікання фінансових ресурсів і зниження їхньої оборотності [1]. Тому автоматизована система керування запасами підприємства з одного боку, не є занадто дорогої, а з іншої, може значно підвищити ефективність роботи підприємства.

При наявності автоматизованої системи обліку, система керування запасами повинна ґрунтуватися на моделі керування запасами з постійним контролем рівня запасу, тобто система, у якій щораз, коли рівень запасу опускається до r, подається заявка на замовлення розміром Q.

Більшість розглянутих у літературі систем керування запасами є однофакторними. У зв'язку з обчислювальною складністю подібних задач, розглядаються або окремі елементи систем керування запасами, або їхньої комбінації, що не дозволяють враховувати всі основні елементи системи керування запасами, такі як знижки, дефіцит запасів, устаріння запасів, обмежена площа складу або визначена сума, виділена на формування запасів.

Метою курсової роботи є створення комплексної системи керування запасами готової продукції, що дозволяє малому або середньому підприємству, що займається роздрібною торгівлею, цілком автоматизувати керування запасами.

У рамках курсової роботи розроблений алгоритм визначення знижок на продажну ціну продукції з метою зменшення обсягу товарів, що списуються, виникаючих у зв'язку з обмеженим терміном їхнього використання. Планується також розробити алгоритм, що дозволяє розподілити в часі замовлення товарів різної номенклатури з урахуванням обмежень на місткість складу і максимальну суму, виділену на керування запасами.

Моделі управління запасами

Модель управління запасами виникає, коли необхідно створити запас матеріальних ресурсів або предметів з метою задоволення попиту на заданому проміжку часу.

Для забезпечення неперервного та ефективного функціонування практично будь-якої організації необхідне створення запасів.

В будь-якій задачі управління запасами потрібно визначити кількість продукції, що замовляється, та терміни розміщення замовлень.

З одного боку, при надмірному запасі потрібні більш високі капіталовкладення, але рідше виникає дефіцит. З іншого боку, при недостатньому запасі капіталовкладення зменшуються, але частота розміщення замовлень та ризик дефіциту зростають.

1. Узагальнена модель управління запасами

Будь-яка модель повинна відповідати на два питання:

1.      Яку кількість продукції замовити? – Розмір замовлення.

2.      Коли замовити? – Залежить від типу системи управління.

Якщо система передбачає періодичний контроль – стан запасів контролюється через рівні проміжки часу (щодобово, щомісячно).

Якщо система передбачає неперервний контроль стану запасу, то точка замовлення визначається рівнем запасу, при якому необхідно розміщувати нове замовлення.

Таким чином, розв’язок узагальненої задачі управління визначається так:

1. У випадку періодичного контролю стану запасу слід забезпечувати постачання нової кількості ресурсів в розмірі обсягу замовлення через рівні проміжки часу.

2. У випадку неперервного контролю стану запасу необхідно розміщувати нове замовлення у розмірі обсягу замовлення, коли його рівень досягає точки замовлення.

Розмір і точка замовлення визначаються з умов мінімізації сумарних витрат системи управління запасами, що можна визначити у вигляді функції цих двох змінних.

A = B + C + D + E

де A -   Сумарні витрати системи управління запасами;

     B  -   Витрати на придбання

     C  -   Витрати на оформлення замовлення запасами

     D  -   Витрати на зберігання замовлення

     E -   Втрати від дефіциту

Витрати на придбання: важливим фактором є залежність ціни одиниці продукції від розміру замовлення, що виражається у вигляді оптових знижок (ціна одиниці продукції знижується із зростанням розміру замовлення).

Витрати на оформлення замовлення – постійні витрати, що залежать від його розміщення. Таким чином, при задоволенні попиту на протязі заданого проміжку часу шляхом розміщення більш дрібних замовлень (частіше) витрати зростають у порівнянні з тим, коли попит задовольняється шляхом розміщення великих замовлень.

Витрати на зберігання замовлення являють собою витрати на зберігання запасу на складі (відсоток на інвестований капітал, витрати на перероблення, амортизаційні та експлуатаційні витрати), ввони збільшуються із збільшенням обсягу запасу.

Втрати від дефіциту – втрати, пов’язані із відсутністю запасу необхідної продукції.

Рис.1 ілюструє залежність чотирьох компонентів витрат узагальненої моделі управління замовленнями від рівня замовлення.

Оптимальний рівень запасу відповідає мінімуму сумарних витрат.

Зауважимо, що модель управління запасами не обов’язково повинна містити усі чотири види витрат, оскільки деякі з них можуть бути незначними. На практиці деякі з них можна не враховувати при умові, що вони не становлять суттєвої частини загальних витрат.

Сумарні витрати

Сумарні витрати

   

Мінімальні витрати

Витрати від дефіциту

Рівень запасу

Закупівельна ціна

Витрати на оформлення замовлення

Витрати на збереження

	Оптимальний рівень

Рис.1.

Оптимізація матеріальних запасів

Матеріальні запаси відіграють велику роль у народному господарстві нашої країни. Значення їх особливе зростає в умовах науково-технічної революції.

Матеріальні запаси є необхідним чинником, що забезпечує безперервність виробничого процесу.

Матеріальні запаси засобів виробництва можуть зосереджуватися в наступних сферах виробництва і звертання.

1. У підприємств - виготовлювачів продукції у виді запасів готової продукції. Склади готової продукції в місцях її виробництва є вихідними точками зіткнення сфери виробництва зі сферою звертання.

2. На рухливому складі транспортних організацій, на яких переміщаються засоби виробництва від пунктів їхнього виготовлення до пунктів споживання, - це так називані "запаси в шляху".

3. На складах і базах постачальницько-збутових організацій, де зберігається продукція, що недоцільно поставляти транзитною формою постачання, тому що вона потрібно споживачам у незначних кількостях або має потребу в підсортуванні, комплектуванні або інших видах підготовки до споживання.

4. На складах підприємств, що споживають даний вид продукції. У цих пунктах продукція виробничо-технічного призначення закінчує своє звертання і вступає в процес виробництва. Склади сировини, матеріалів, палива, що комплектують виробів і іншої необхідних для нормальної роботи підприємства матеріальних цінностей, є кінцевими точками дотику сфери звертання зі сферою виробництва.

У керуванні матеріальними запасами існує ряд протиріч.

Критерієм оптимізації матеріальних запасів є мінімізація усіх витрат, зв'язаних з величиною запасів, що залежить від процесу матеріально-технічного постачання.

Основні умови, якою повинні задовольняти системи керування матеріальними запасами:

1) обсяг запасів повинний забезпечувати безперервність виробничого процесу,

2) розмір запасів повинний бути мінімальним з метою скорочення витрат на збереження матеріального запасу, на будівництво складських приміщень і іммобілізацію матеріальних ресурсів.

2. Типи моделей управління запасами

Велика різноманітність моделей управління запасами пояснюється характером попиту.

Детермінований попит:

статичний – інтенсивність попиту незмінна в часі (зустрічається рідко);

динамічний – попит відомий, але змінюється в часі.

Ймовірнісний попит:

стаціонарний – функція щільності ймовірності попиту, незмінна в часі;

нестаціонарний – функція щільності ймовірності попиту, змінюється в часі, найбільш точно описує характер попиту, але математично складний.

Характер попиту – один з основних факторів при побудові моделі, але є ще й інші фактори, що впливають на вибір моделі:

- Запізнення поставок або терміни виконання замовлень. Після розміщення замовлення воно може бути виконане терміново або через деякий час. Інтервал часу між моментом розміщення замовлення і його постачанням називається запізненням постачання. Ця величина може бути детермінованою або випадковою.

- Поповнення запасу. Хоча система управління запасами може функціонувати при запізненні постачання, процес поповнення запасу може здійснюватись миттєво або рівномірно в часі. Миттєве поповнення запасу відбувається при умові, коли замовлення надходять від зовнішнього джерела. Рівномірне поповнення – коли продукція, що запасається, виробляється самою організацією.

У загальному випадку система може функціонувати при додатньому запізненні постачання та рівномірному поповненні запасу.

- Період часу визначає інтервал, на протязі якого здійснюється регулювання рівня запасу. Він буває кінцевий та нескінченний в залежності від проміжку часу, коли можна надійно прогнозувати.

- Число пунктів накопичення запасу. В системи управління запасами може включатися декілька пунктів зберігання запасу. У деяких випадках ці пункти організовані таким чином, що один виступає як постачальник для іншого – система управління запасами із розгалуженою структурою.

- Число видів продукції. В системі управління запасами може бути більше одного вида продукції. Цей фактор враховується, коли є декілька залежнлстей між видами продукції. Наприклад, для деяких із них може використовуватись одне складське приміщення.

Детерміновані моделі

Дуже важко побудувати узагальнену модель управління запасами, яка б враховувала всі умови реальної системи. Навіть якщо можна було б побудувати таку модель, навряд чи вона була б аналітично розв’язувана.

Розглянемо декілька моделей з метою пояснення різних підходів до розв’язання конкретних задач.

Класифікація матеріальних запасів

Класифікація запасів необхідна для рішення принаймні двох задач:

1. Конкретизація об'єкта вивчення в рамках заданого матеріального потоку.

2. Керування запасами в рамках заданої логічної системи.

Мається багато класифікацій, що допомагають деталізувати рішення в сфері керування запасами.

За місцем перебування запаси поділяються на:

• виробничі;

• товарні.

Виробничі запаси формуються на промислових підприємствах і призначені для виробничого споживання. Вони повинні забезпечувати безперебійність виробничого процесу. Запаси враховуються в натуральних, умовно-натуральних і вартісних вимірниках. До них відносяться предмети споживання, що надійшли до виробничих споживачів різного рівня, але ще не використані і не піддані переробці, а також засобу виробництва.

Товарні запаси знаходяться в підприємств-виготовлювачів на складах готової продукції, а також у каналах розподілу і виробників, і торговельних компаній. Товарні запаси необхідні для безперебійного забезпечення споживачів різного рівня продукцією.

Запаси в каналах сфери звертання (дистрибутивних каналах) розбиваються на:

• запаси в шляху;

• запаси на підприємствах торгівлі.

Запаси в шляху (або транспортні/транзитні запаси) знаходяться на момент обліку в процесі транспортування від постачальників до споживачів.

Кожна організація в ланцюзі постачань є, з одного боку, постачальником (виготовлювачем), а з іншого боку - споживачем. З цих позицій промислове підприємство завжди має виробничі і товарні запаси.

По функціях, що виконуються, запаси підрозділяються на:

• поточні;

• підготовчі (буферні);

• гарантійні (страхові, або резервні);

• сезонні;

• перехідні.

Поточні запаси забезпечують безперервність постачання матеріальними ресурсами виробничого процесу, а також реалізації (розподілу) готової продукції підприємствами-виготовлювачами й організаціями торгівлі в період між двома суміжними постачаннями. Поточні запаси складають основну частину виробничих і товарних запасів. Їхня величина постійно міняється.

Підготовчі (буферні) запаси виділяються з виробничих запасів, вони вимагають додаткової підготовки перед використанням у виробництві (сушіння деревини, наприклад). Підготовчі запаси готової продукції викликані необхідністю їхньої підготовки до відпустки споживачам.

Гарантійні (страхові, або резервні) запаси призначені для безперервного постачання продукцією споживача у випадку непередбачених обставин: відхилення в періодичності і величині партій постачань від запланованих, зміни інтенсивності споживання, затримки постачань у шляху. На відміну від поточних запасів розмір гарантійних запасів є постійною величиною. При нормальних умовах роботи ці запаси є недоторканними .

Сезонні запаси утворяться при сезонному характері виробництва, споживання або транспортування продукції. Сезонні запаси повинні забезпечити нормальну роботу організації під час сезонної перерви у виробництві, споживанні або транспортуванні.

Перехідні запаси - залишки матеріальних ресурсів на кінець звітного періоду. Вони забезпечують безперервність виробництва і споживання в звітному й у наступному за звітним періоді до чергового постачання.

Виділяють також спекулятивного і рекламні (для просування продукції) запаси.

Спекулятивні запаси створюються з метою захисту від можливого підвищення цін або введення протекціоністських квот або тарифів, а також щоб використовувати кон'юнктуру ринку для одержання додаткового прибутку.

Рекламні запаси (для просування продукції) створюються і підтримуються в каналах розподілу для швидкої реакції на проведену фірмою маркетингову політику. Вони зв'язані із широкомасштабними рекламними заходами. Ці запаси повинні задовольняти можливе різке збільшення попиту на продукцію фірми.

За часом запаси підрозділяються на:

• максимальний бажаний запас;

• граничний рівень запасу;

• поточний рівень;

• гарантійний запас.

Максимальний бажаний запас визначає рівень запасу, економічно доцільний у даній системі керування запасами. Цей рівень може перевищуватися. У різних системах керування максимальний бажаний запас використовується як орієнтир при розрахунку обсягу замовлення.

Граничний рівень запасу ("крапка замовлення") використовується для визначення моменту часу видачі чергового замовлення.

Поточний запас відповідає рівневі запасу в будь-який момент обліку. Він може збігтися з максимальним, граничним або гарантійним рівнями запасу.

Гарантійний запас (страхового або резервний) призначений для безперервного постачання споживача у випадку непередбачених обставин.

Можна також виділити неліквідні запаси - довгостроково виробничі і товарні запаси, що не використовуються. Утворяться в результаті погіршення якості товарів під час їхнього збереження, або морального зносу.

Детерміновані моделі

Дуже важко побудувати узагальнену модель управління запасами, яка б враховувала всі умови реальної системи. Навіть якщо можна було б побудувати таку модель, навряд чи вона була б аналітично розв’язувана.

Розглянемо декілька моделей з метою пояснення різних підходів до розв’язання конкретних задач.

 

1 АНАЛІЗ СТАНУ ПРОБЛЕМИ

1.1 Проблема керування запасами

Керування запасами являє собою складний комплекс заходів, спрямований на забезпечення безперебійного процесу виробництва і реалізації продукції при мінімізації поточних витрат на обслуговування запасів.

О. Пестрецова описала основні витрати і втрати в зв'язку зі збереженням запасів і їхньою відсутністю, який можна представити у виді наступної таблиці.

Таблиця 1. – Витрати, що виникають у зв'язку зі збереженням або відсутністю запасів.

Збереження запасів	Відсутність запасів
заморожені в запасах фінансові засоби;	втрати від простою виробництва;
витрати на зміст спеціально обладнаних приміщень;	втрати в зв'язку з відсутністю товару на складі в момент пред'явлення на товар попиту;
оплата праці спеціального персоналу;	утрати від закупівель товарів дрібними партіями по більш високих цінах;
витрати, що враховують постійний ризик псування, розкрадань, а також моральне і фізичне старіння запасів;	втрата або звуження ринку збуту товарної продукції;
витрати, зв'язані з коливаннями кон'юнктури ринку.	порушення виробничих зв'язків з підприємцями.

Тому політикові керування запасами можна звести до двох питань: коли замовляти й у яких кількостях.

1.2 Система керування запасами з постійним контролем

Виділяють дві основні системи керування запасами: систему з постійним контролем і систему з періодичними перевірками.

У системі з періодичними перевірками підрахунок запасу виробляється періодично (раз у день, тиждень, місяць), і в залежності від рівня наявного запасу виробляється замовлення визначеної партії продукції.

При наявності автоматизованої системи обліку, система керування запасами може ґрунтуватися на моделі керування запасами з постійним контролем рівня запасу, тобто система, у якій щораз, коли рівень запасу опускається до r, подається заявка на замовлення розміром Q.

Теоретичні основи такої системи досить докладно виклали Хедли й Уайтин. Пізніше були написані й іншої роботи, що містять різні варіанти опису (Q, r)-системи керування запасами, у тому числі з різними варіантами обліку дефіциту, обмеженого терміну придатності товарів, описувалися точні і наближені моделі.

При детермінованому і випадковому попиті динаміка запасу описується малюнками 1 і 2 відповідно.

Малюнок 1. – Динаміка рівня запасів при детермінованому попиті

Малюнок 2. – Динаміка рівня запасів при випадковому попиті

Найвищого рівня запас досягає в момент постачання замовлення розміром у.

Рівень запасу досягає нуля через у/b часу після отримання замовлення розміром у.

Чим менший розмір замовлення у, тим частіше потрібно розміщувати нові замовлення, але середній рівень запасу буде зменшений.

З іншого боку, із збільшенням розміру замовлення рівень запасу збільшується, але замовлення розміщуються рідко.

Оскільки витрати залежать від частоти розміщення замовлень і обсягу запасу, що зберігається, то величина у обирається з умови збалансування між двома видами витрат. Це і є основа побудови відповідної моделі управління запасами.

Нехай k – витрати на оформлення замовлення, що мають місце кожного разу при його розміщенні.

h – витрати на зберігання одиниці замовлення за одиницю часу.

Тоді сумарні витрати за одиницю часу TCU(y) як функцію від у можна представити у вигляді: TCU(y) = витрати на оформлення замовлення за одиницю часу + витрати на збереження запасів за одиницю часу = k/(y/b) + h*(y/2).

Як видно з рис.3, термін циклу руху замовлення складає t₀ = y/b і середній рівень запасу дорівнює у/2. оптимальне значення у отримується мінімізацією TCU(y) по у. Таким чином, передбачаючи, що у – неперервна змінна, маємо:

d TCU(y)/dy = -kb/y² + h/2 = 0.

Звідси знаходимо оптимальне значення розміру замовлення:

                                                                _____ 

у^* = Ö2kb/h   -

формула економічного розміру замовлення Уілсона

(Доведено, що TCU(y) досягає свого мінімального значення в точці у^*, оскільки друга похідна в цій точці строго додатна).

Оптимальне значення у отримується в результаті замовлення у^* одиниць продукції через кожні t₀^* = y^*/b одиниць часу.

Оптимальні витрати TCU(y^*), що отримані в результаті безпосередньої

                                            ____    

підстановки, складають Ö2kbh.

Для більшості реальних ситуацій існує додатній термін виконання замовлення (часове запізнення) L від моменту розміщення замовлення до його дійсного постачання.Така стратегія має визначати точку оновлення замовлення.

В практичних цілях цю інформацію можна перетворити, визначивши точку оновлення замовлення через рівень замовлення, що відповідає моменту оновлення замовлення. На практиці це реалізується шляхом неперервного контролю стану замовлення до моменту досягнення чергової точки оновлення замовлення. Тому таку модель називають моделлю неперервного контролю стану замовлення.

Слід зазначити, що з точки зору аналізу в умовах стабілізації системи термін виконання замовлення L завжди можна прийняти меншим тривалості циклу t₀.

Приклад 1.

Прийняті пропущення в розглянутій моделі можуть не відповідати деяким реальним умовам внаслідок імовірнісного характеру попиту. На практиці отримав розповсюдження наближений метод, що зберігає простоту моделі економічного розміру замовлення і в той же час в деякій мірі враховує ймовірнісний характер попиту.

Ідея методу досить проста. Вона передбачає створення деякого (постійного) буферного запасу на всьому горизонті планування. Розмір резерву визначається таким чином, щоб імовірність вичерпання запасу на протязі періоду виконання замовлення L не перевищувала наперед заданої величини.

Нехай f(x) – щільність розподілу імовірностей попиту на протязі цього терміну. Нехай імовірність вичерпання запасу на протязі періоду L не повинна перевищувати a. Тоді розмір резервного запасу В визначається з умови:

Р{ x ³ B + Lb } £ a,

Точки оновлення замовлення

В + у*

В + bL

В

час

Рівень запасу

де Lb - споживання на протязі часу L. Зміни запасу при наявності резерву показано на рис.5.

Рис.5.

Приклад 2.

У прикладі 2 звертає на себе увагу факт, що В не залежить від m_L (визначальним фактором є середнє квадратичне відхилення).

Не слід очікувати, що загальний результат визначення В та економічного розміру замовлення обов’язково оптимальний або наближений до оптимального. Відхилення від оптимуму пояснюється тим, що спочатку деяка важлива інформація може не враховуватись, а потім використовується незалежно на останньому етапі обчислень.

Різновиди моделі економічного розміру замовлення (партії) дозволяють наявність дефіцитів і рівномірного (а не миттєвого) поповнення запасу. Останній випадок притаманний виробничим системам, у яких інтенсивність поповнення запасу є функцією інтенсивності виробництва. У цих ситуаціях у моделях управління запасами, як і раніше, співвідносяться витрати на збереження запасів і оформлення замовлень. В функцію сумарних витрат включаються також втрати від дефіциту, якщо він має місце.

У загальному випадку втрати від дефіциту передбачаються пропорційними середній величині дефіциту.

Однопродуктова статична модель з розривами цін

У розглянутих моделях не враховуються питомі витрати на придбання товарів, оскільки вони постійні і не впливають на рівень запасу. Але часто ціна одиниці продукції залежить від розмірів партії, у таких випадках ціни змінюються стрибкоподібно або надаються оптові знижки. При цьому в моделі управління запасами слід враховувати витрати на придбання.

Розглянемо модель управління запасами з миттєвим поповненням запасу при відсутності дефіциту.

                                                     С₁, якщо у < q,

Нехай ціна одиниці товару =

                                                     C₂, якщо y ³ q,

де С₁ > C₂; q – розмір замовлення, при якому надається знижка. 

Тоді сумарні витрати за цикл, крім витрат оформлення замовлень і зберігання запасу, мають включати витрати придбання:

TCU₁(y) = bC₁ + kb/y + hy/2, якщо y < q,

TCU₂(y) = bC₂ + kb/y + hy/2, якщо y ³ q.

 

TCU2

TCU1

q1

ут

3

2

1

	у

 

Рис.6.

Не зважаючи на вплив зниження цін, позначимо у_т – розмір замовлення, при якому досягається мінімум величин TCU₁ і  TCU₂. тоді

                                                                  _____

у_т = Ö2kb/h.

З вигляду функцій TCU₁ і  TCU₂ (рис.5) видно, що оптимальний розмір замовлення у^* залежить від того, де по відношенню до наведених зон (1, 2 і 3) знаходиться точка розриву ціни q. Ці зони знаходяться в результаті визначення q₁ ( > y_m) з рівняння

TCU₁(у_т) = TCU₂(q₁).

                                                                              _____ 

Оскільки значення у_т відоме (у_т = Ö2kb/h), можна визначити q₁ з попереднього рівняння.

Зона І: 0 £ q < y_m;

Зона ІІ: у_т £ q < q₁;

Зона ІІІ: q ³ q₁.

На рис.7 показано графічне рішення рівняння в залежності від того, в якій зоні розташовано q.

Витрати

 

TCU1

TCU1

Витрати

              

TCU2

TCU2

min

                

 

         

          q – у 1-й зоні, у^* = у_т                                     q – у 2-й зоні, у^* = q   

        

			TCU1

 

TCU2

ym

q1

у

q

q – у 3-й зоні, у^* = у_т

Рис.7.

Алгоритм визначення у^*

                                   _____  

1.      Визначити у_т = Ö2kb/h. Якщо q < y_m  (зона 1), то у^* = у_т і алгоритм закінчується.

2.                    Визначити q₁ з рівняння TCU₁(y_m) = TCU₂(q₁); встановити, у якій зоні знаходиться величина q.

а) якщо у_т £ q £ q₁ (зона 2), то у^* = q;

б) якщо q ³ q₁ (зона 3), то у^* = у_т.

Приклад 3. Розглянемо модель управління запасами при таких вихідних даних: k = 10 у.о., h = 1 у.о., b = 10 од., С₁ = 2 у.о., С₂ = 1 у.о. і q = 15 од.

                                                 ____       ________

у_т = Ö2kb/h = Ö2*10*5/1 = 10 од.

Оскільки q > y_m , необхідно визначити, де знаходиться q: в зоні 2 або 3. значення q обчислюється з рівняння:

TCU₁(y_m) = TCU₂(q₁)

або

С₁b + kb/y_m + hy_m/2 = C₂b + kb/q₁ + hq₁/2.

Підстановка дає:

2*5 + 10*5/10 + 1*10/2 = 1*5 + 10*5/q₁ + 1*q₁/2,

або

q₁² – 30q₁ + 100 = 0.

Звідси отримуємо q₁ = 26.18 або q₁ = 3.82. Вибираємо більше значення q. Оскільки у_т < q < q₁, величина q знаходиться в зоні 2. сумарні витрати на одиницю часу визначаються так:

TCU(y^*) = TCU₂(15) = C₂b + kb/15 + h*15/2 = 1*5 + 10*5/15 + 1*15/2 = 15.83 у.о./день.

Задача 3 (с.103)

Багатопродуктова статична модель з обмеженнями

 на місткість складських приміщень

Ця модель призначеня для системи управління запасами, що включає п (п > 1) видів продукції, яка зберігається на одному складі обмеженої площі. Дана умова визначає взаємозв’язки між різними видами продукції і може бути включана в модель як обмеження.

Позначимо А – максимально допустима площа складського приміщення для п видів продукції; а_і – площа, необхідна для зберігання одиниці продукції і-го виду. Тоді обмеження на потреби у складському приміщенні:

                                                          _п

S а_і у_і £ А.

                                                                     ^{і = 1}

Нехай запас продукції кожного виду поповнюється миттєво і зниження цін немає. Нехай також дефіцит не допускається.

Позначимо b_і – інтенсивність попиту; k_i – витрати на оформлення замовлення; h_i – витрати на зберігання продукції і-го виду за одиницю часу. Загальні витрати для продукції кожного виду будуть такими ж, як і у випадку еквівалентної однопродуктової моделі. Таким чином, наша задача набуває вигляду:

                                                            _п

TCU(y₁, …, y_т) = S (k_ib_i/y_i + h_iy_i/2) ® min     

при                                                _п                      ^{і = 1}                                                                           (*)

S а_і у_і £ А,   у_і > 0 для всіх і.

                                                      ^{і = 1}

Загальний розв’язок цієї задачі знаходимо методом множників Лагранжа.

Однак перед застосуванням цього методу необхідно встановити, чи діє вказане обмеження, перевіривши виконання обмеження на площу складу для розв’язку у_і^* =

  ______

Ö2k_ib_i/h_i необмеженої задачі. Якщо обмеження виконується, то воно надлишкове і ним можна знехтувати. Обмеження діє, якщо воно не виконується для значень у_і^*. У цьому випадку потрібно знайти нове оптимальне значення у_і, що задовольняє обмеження на площу складу у вигляді рівності (*) Цей метод призводить до конкретного розв’язку, оскільки TCU(y₁, …, y_т) опукла і задача має єдине лінійне обмеження (опуклий простір розв’язків). Метод може стати некоректним при інших обмеженнях або коли число обмежень більше одиниці.

Цей результат досягається побудовою функції Лагранжа вигляду:

                                                                                        _п       

L(l, y₁, y₂, …, y_n) = TCU(y₁, …, y_т) - l(S a_i y_i – A) =

                                                      _{п                                               п}               ^{і = 1}

=S(k_ib_i/y_i + h_iy_i/2) - l(S a_i y_i – A),

                                                    ^{і = 1                                           і = 1}                       

де l < 0 – множник Лагранжа.

Оптимальні значення у_і і l можна знайти, якщо прирівняти до нуля відповідні частинні похідні:

dL/dy_i = -k_ib_i/y_i² + h_i/2 - la_i = 0;

                                                                               _n    

dL/dl = -S a_iy_i + A = 0.

                                                                          ^{i = 1}

З другого рівняння випливає, що значення у_і^* має задовольняти обмеження на площу складу у вигляді рівності. З першого рівняння випливає, що

                                                          ____________ 

у_і^* = Ö2k_ib_i/(h_i - 2la_i).

Зазначимо, що у_і^* залежить від оптимального значення l^* множника l. Крім того, при l^* = 0 значення у_і^* є розв’язком задачі без обмеження. Значення l^* можна знайти методом систематичних проб та помилок.

Оскільки за визхначенням у поставленій задачі мінімізації l < 0, то при послідовній перевірці від’ємних значень l знайдене значення l^* буде одночасно визначати значення у_і^*, що задовольняють задане обмеження у вигляді рівності.

Таким чином, в результаті визначення l^* автоматично отримуємо у_і^*.

Приклад 4. Розглянемо задачу управління запасами для випадку трьох видів продукції (п = 3), вихідні дані якої наведені у таблиці:

Вид продукції і	ki, у.о.	bі, од.	hi, у.о.	аі, м2
1	10	2	0,3	1
2	5	4	0,1	1
3	15	4	0,2	1

Нехай загальна площа складського приміщення складає 25 м² (А = 25). Виходячи з формули

                                                          ____________ 

у_і^* = Ö2k_ib_i/(h_i - 2la_i),

побудована така таблиця:

l	у1	у2	у3	Sаіуі – А
0	11,5	20	24,5	31
-0,05	10	14,1	17,3	16,4
-0,1	9	11,5	14,9	10,4
-0,15	8,2	10	13,4	6,6
-0,2	7,6	8,9	12,2	3,7
-0,25	7,1	8,2	11,3	1,6
-0,3	6,7	7,6	10,6	-0,1

При А = 25 обмеження на складське приміщення задовольняється у вигляді рівності при деякому l (-0,25 £ l £ -0,3). Це значення дорівнює l^* і його можна оціното за допомогою лінійної інтерполяції.

Відповідні значення у_і визначають значення у_і^*. Оскільки з таблиці видно, що значення l^* дуже близьке до –0,3, то оптимальні значення у_і^* наближено дорівнюють:

у₁^* = 6,7, у₂^* = 7,6 та у₃^* = 10,6.

Якщо А ³ 52,4, то значення у_і без урахування обмежень, що відповідають l = 0, визначають у_і. У цьому випадку обмеження надлишкове.

Задача 4.

Однопродуктова N-етапна динамічна модель

В цій моделі передбачається, що попит може змінюватися від етапу до етапу. Рівень запасу контролюється періодично. Хоча запізнення постачання допустиме, у моделі передбачається, що поповнення запасу відбувається миттєво на початку етапу. Дефіцит не допускається.

Побудова динамічної детермінованої моделі зводиться до дослідження кінцевого горизонту часу. Це пояснюється тим, що для отримання числового розв’язку відповідних задач потрібно використовувати метод динамічного програмування, який у даному випадку можна практично застосувати тільки при кінцевій кількості кроків. Однак це не є серйозною перешкодою, оскільки попит в майбутньому не суттєво впливає на розв’язки, що беруться для кінцевого горизонту часу. Крім того, не має сенсу передбачати, що продукція буде зберігатися на протязі нескінченого проміжку часу.

                                              ___

Визначимо для етапу і (і = 1, N) такі величини:

z_i – кількість замовлення продукції (розмір замовлення);

x_i – потреби в продукції (попит);

х_і – початковий запас (на початок і-го етапу);

h_i – витрати на зберігання одиниці запасу, що переходить з і-го в (і + 1)-й етап;

k_i – витрати на оформлення замовлення;

C_s (z_i) – функція граничних витрат, що пов’язані із закупівлею (виробництвом) при заданому z_i.

С_i (z_i) = d_iIk_i + c_i (z_i),

                   

              0, z_i = 0,

                                                               де d_і =

                                                                  1, z_i > 0.

Оскільки дефіцит не допускається, потрібно знайти оптимальні значення z_i, що мінімізують загальні витрати на оформлення замовлень, закупівлю та збереження по всім N етапам. Витрати на зберігання передбачаються пропорційними величині

х_{і + 1} = х_і + z_i + x_і ,

що є обсягом запасу, який переходить з і-го в (і + 1)-й етап.

В результаті витрати на збереження на і-му етапі дорівнюють h_ix_{i +1}. ця умова вводиться виключно з метою спрощення, оскільки модель легко можна узагальнити на випадок довільної функції витрат H_i (x_{i + 1}), замінивши h_ix_{i +1} на H_i (x_{i + 1}). Аналогічно для оцінювання витрат на збереження можна скористатися величинами х_і або (х_і + х_{і + 2})/2.

Побудова моделі динамічного програмування спрощується, якщо представити задачу схематично, як показано на рис.8.

 

Рис.8.

Кожний етап відповідає одному кроку. Використовуючи зворотне рекурентне рівняння, визначимпо стан системи на і-му кроці і обсяг вихідного запасу х_і. Нехай fi (x_i) – мінімальні загальні витрати на етапах і, і + 1, ..., N. Рекурентне рівняння має вигляд:

f_N (x_N) = min {C_N (z_N)}

z_N + x_N = x_N

z_N ³ 0.